加法定理の覚え方と証明｜sin・cos・tanの公式を現役数学講師が解説！
こんにちは！はやとです！
今回は加法定理の覚え方と証明について解説します！
最初に加法定理の式を確認します。
加法定理ではsin、cos、tan、順番や符号などちょっと覚えづらいですよね。
語呂合わせで頑張って覚える人もよく見ますが、ぼくはsinとcosにキャラ付けすることで、加法定理や2倍角の公式も覚えやすくなりました。
証明を理解することも定理や公式の覚えを速くすることに効果があるので、ぜひ参考にしてみてください！
加法定理の覚え方
sin・cosの語呂合わせ
まずはぼくが覚えた語呂合わせがこちら⬇️
めちゃくちゃそのままです😅
tanの語呂合わせ
キャラ付けでの覚え方
語呂合わせよりもさらに忘れにくくしたい人向けに、ぼくがよくやっているのが「sinとcosにキャラ付けする」覚え方です。
sinを「誠実で平等キャラ」、cosを「ひねくれた出しゃばりキャラ」のようにイメージします。
するとsinの加法定理では、sinαcosβ+cosαsinβのようにsinとcosがそれぞれペアで出てくる一方、cosの加法定理ではcosαcosβ−sinαsinβのように必ずcosが前に出てきます。
符号については、sinは変わらないのに対し、cosは変わる。
丸暗記がどうしても苦手な人は、自分なりのキャラやストーリーを作ってみるのもおすすめです。
加法定理の証明
cos(α+β)の証明
別解として、点と直線の距離の公式を使ったところに余弦定理を使っても、同じように導くことができます。
cos(α−β)の証明
sin(α+β)の証明
実は、sinの加法定理もcosの加法定理から導くことができます。
sinθ = cos(π/2 − θ) という関係式を使うと、
sin(α+β) = cos(π/2−(α+β)) = cos((π/2−α)−β)
ここで、右辺に cos(α−β) = cosαcosβ+sinαsinβ の形を当てはめると
cos(π/2−α)cosβ + sin(π/2−α)sinβ = sinαcosβ + cosαsinβ
よって、sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβとなる
このように、加法定理はすべてcos(α+β)の証明さえ理解しておけば芋づる式に導けます。
丸暗記に頼らなくても、この流れを覚えておけば忘れたときに自分で作り直せるので安心です。
tanの加法定理の証明
最後に、多くの人が苦手とするtanの加法定理を証明します。
ポイントは「tan = sin / cos」という定義に戻ることです。
tan(α+β) = sin(α+β) / cos(α+β) = ( sinαcosβ+cosαsinβ ) / ( cosαcosβ−sinαsinβ )
このままだと複雑なので、分母・分子をcosαcosβで割ります。
( sinαcosβ/cosαcosβ + cosαsinβ/cosαcosβ ) / ( cosαcosβ/cosαcosβ − sinαsinβ/cosαcosβ )
各項を約分すると（sinα/cosα=tanα、sinβ/cosβ=tanβ を使う）、
= ( tanα + tanβ ) / ( 1 − tanαtanβ )
tan(α+β) = (tanα+tanβ) / (1−tanαtanβ)
同様に、cos(α−β) = cosαcosβ+sinαsinβ を使って分母・分子をcosαcosβで割ると、
tan(α−β) = (tanα−tanβ) / (1+tanαtanβ)
も導けます。
tanの加法定理は「分母・分子をcosαcosβで割る」という1ステップさえ覚えておけば、sin・cosの加法定理から毎回その場で作ることができます。
よくある間違い・つまずきポイント
- cosの加法定理で符号を逆にしてしまう
cos(α+β)は引き算（cosαcosβ−sinαsinβ）、cos(α−β)は足し算（cosαcosβ+sinαsinβ）と、元の符号と逆になります。sinはそのまま対応するので、cosだけ逆という点を意識しましょう。
- tanの加法定理を丸暗記しようとして忘れる
- tanは複雑な形をしているので、無理に覚えるよりも「sin(α+β)/cos(α+β)を計算してcosαcosβで割る」という導出手順を覚える方が確実です。
さいごに
この記事では、加法定理の覚え方と証明について解説しました！
暗記も大切ですが、証明を理解しておくことで「なぜこの式が成り立つのか」わかるようになり、公式を忘れてしまっても自分で作り直せるようになります。
sin・cos・tanすべての加法定理、ぜひマスターしてみてください！
「公式は理解できたけど、数学全体の勉強法に不安がある…」という場合は、勉強法を見直すのもおすすめです。
独学での克服が難しいと感じたら、プロの力を借りるのも有効な選択肢です。
現在は農業に挑戦中
数学が得意になるコツは
・わからなかったらまずは調べる！
・それでもわからなければ人に聞く！
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