2024.09.02 2026.08.14

三角比の公式一覧｜正弦定理・余弦定理・相互関係を現役数学講師が解説！

@hayato0121

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こんにちは！はやとです！

今回は三角比の公式一覧を紹介します！

「なぜこの公式(定理)が成り立つのか」「どんな時に使うのか」まで解説していきますので、1つずつ確認してみてください！

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三角比の相互関係
- 証明
正弦定理
- 証明
- 使い方
余弦定理
- 証明
三角形の面積
- 証明
- 使い方
どの公式を使えばいい？使い分け早見表
よくある質問（FAQ）
さいごに

三角比の相互関係

まずは、三角比の相互関係についてです！

覚えたい式は次の3つ⬇️

はやと

数Ⅰで習う三角比、数Ⅱで習う三角関数、さらにその先の微分積分などこの式はよく使うので覚えておきましょう！

証明

この3つの式は三角比の定義から、証明することができます。

証明の全体像を、ここでは紹介します。

①の証明

①の証明はこちら。

式変形を行うことで、導くことができます！

②の証明

②の証明がこちら。

最初の、三平方の定理を活用する部分が、ポイントですね！

③の証明

最後に、③の証明です。

②の式を活用して、導くことができます。

＼相互関係をさらに詳しく／

【三角比の相互関係】証明もわかりやすく現役数学講師が解説！

正弦定理

次に正弦定理の紹介です！

三角形の辺の長さとと角の大きさ、外接円の半径Rについて次の式が成り立ちます。

証明

正弦定理について、ここではAに着目した証明を紹介します。

同様にして、BとCについても2Rと等しくなる式を導くことができるので、定理のように少し長い式ができあがります。

使い方

実際に正弦定理を活用して問題を解く時には、定理の式の1部分を使い、辺の長さや角、外接円の半径を求めます。

例題：辺の長さを求める

では、辺の長さを求める問題を1つ紹介します。

向かい合う1組の辺と角、そして求めたい辺とその向かい合う角について、正弦定理を活用しました。

はやと

正弦定理ではこのように、向かい合う辺と角について着目するのがポイントです！

余弦定理

次に、余弦定理の紹介です。

3辺の長さと1つの角から、次の式が成り立ちます。

証明

こちらも、Aについて着目した証明を紹介します。

B、Cについても同様にして、定理の式を導くことができます。

三角形の面積

最後にsinを使った三角形の面積の公式です。

証明

こちらもAについて着目した証明を紹介します。

B、Cについても同様にして公式を導くことができます。

使い方

公式では3つ式を紹介し、少し文字が多いようにも見えたかもしれません。

しかし、実際に使うときには2つの辺とその間の角さえわかってればok！

2つの辺と、その間の角のsinから三角形の面積を求めることができるんです。

公式を文字で覚えるより、このように図で覚えちゃいましょう！

例題

実際に数字を入れた例題を紹介しておきます。

どの公式を使えばいい？使い分け早見表

三角比の公式は種類が多いので、「今どの公式を使えばいいのか」で迷いがちです。以下を目安に選んでみてください。

わかっている情報	使う公式
1辺とその両端の角、または2角と1辺	正弦定理
3辺の長さすべて（角を求めたいとき）	余弦定理
2辺とその間の角（残りの辺を求めたいとき）	余弦定理
2辺とその間の角（面積を求めたいとき）	三角形の面積の公式
sin・cos・tanのうち1つがわかっている	三角比の相互関係

迷ったら、「角を求めたいか」「辺（または面積）を求めたいか」「わかっている情報が辺だけか、角も含むか」の3点を整理すると選びやすくなります。