高校数学
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【平方完成のやり方】現役数学講師が手順をわかりやすく解説!

@hayato0121
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こんにちは!はやとです!

今回は「平方完成」のやり方について解説していきます!

2次関数のグラフ(放物線)の頂点を求めるときに必ず使う平方完成

一見、計算が複雑そうで、初めは難しく感じることもあるかと思いますが、いくつかあるパターンを理解し、やり方を覚えてしまえば簡単にできるようになります!

この記事では4つのパターンに分けて解説をしていきます!

この記事を読んで、さらに教科書や自分の問題集で練習をして、平方完成をマスターしていきましょう!

そもそも平方完成とは

平方完成とは

平方完成とは、①のように表された式を②式のように変形することを言います。

a,b,c,x..など、文字が多いですが、ここでは形だけ意識してみてみてください!

①のようにx²、x、定数項と3つの項で表していたものを、カッコの2乗の形で表します。

ここで出てくる文字のa,b,c,p,qは、何かしらの数字が入るのですが、いろんな数字が入ることがあるのでいったん文字で表しているんです。

だから、ここでは式の形だけ意識してみて、文字について深くは考えなくてokです!

実際に数字を入れてみると次のような感じ。

平方完成とは

平方完成をするときは、②のように、2乗の形にする!

これだけ意識をして、計算を進めましょう!

では、どのように計算をしてこの変形を進めればよいのか、解説していきます!

平方完成のやり方

1問目

x²の係数が1、xの係数が偶数の場合

平方完成のやり方①
  1. xの係数を半分にして、カッコの2乗の形にする。
    • 展開の公式の逆を意識しながら頭を使いましょう。
    • (x-3)²を展開すると、x²-6x+9となり、元の式にある、x²-6xをつくることができます。
  2. ①で余分に出てきた+9を消すために、-9をする
    • ①ではx²-6xの形をつくるために(x-3)²の形をつくりました。
    • ただ、これを展開すると、元の式にはなかった、+9まで出てきてします。
    • それを消すために、-9をします。
  3. 最後は式を整理して完了!

2問目

xの係数が奇数の場合

平方完成のやり方②

やり方は1つ目と一緒。

  1. xの係数を半分にして、カッコの2乗の形にする。
    • 今回、3を半分にすると分数が出てきますが、やり方は同じです
  2. 引き算の部分も忘れずに!
  3. 最後は式を整理して完了!

3問目

x²の係数が1以外の場合(正の数)

平方完成のやり方③
  1. x²の係数で、xの項までをくくる。
  2. ①でくくった部分をカッコの2乗の形にする
    • カッコの中の数字はこれまで同様、前の式のxの係数の半分に。
    • -1のところまでがひと固まりで、前にくくった2がかかってくるので、そこまでカッコをつけるところに注意!
  3. 係数でくくった部分を展開し、式を整理したら完了!

1、2問目と違うのは、最初にx²の係数でxが着く項までをくくるというところ。

これをやらないと、うまくカッコの2乗の形がつくれないので、まずやりましょう!

次でラストです!

4問目

係数が負の数の場合

平方完成のやり方④
  1. x²の係数で、xの項までをくくる。
    • x²の係数が負の数なので、カッコの中のxの係数の符号に注意!
  2. ①でくくった部分をカッコの2乗の形にする
  3. 係数でくくった部分を展開
    • この時も符号には十分注意しましょう!
  4. 式を整理したら完了!

さいごに

今回は平方完成のやり方について解説しました!

やり方を理解してたくさん練習すれば、必ずできるようになります!最初は真似をしながら手を動かして、教科書・問題集と、練習をしていってください!

平方完成ができたら放物線の頂点が分かります。

これは2次関数を扱うの単元ではとても重要で、ほんとによく使うものなので、ぜひここでできるようになるまで練習してみてくださいね!

どうせやるなら楽しんで!

はやとの青空教室では、「数学がわかることで毎日の授業や数学の勉強が楽しくなったらいいな」という想いで数学の解説をしています!

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ABOUT ME
はやと
7年目数学講師。中高数学非常勤講師/対面・オンライン家庭教師→公営塾スタッフ(地域おこし協力隊)▶︎数学の解説や塾選び、自身の体験談などについて記事にしています。
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