【三角比の相互関係】証明もわかりやすく現役数学講師が解説！

こんにちは！はやとです！

今回は、三角比の相互関係について、証明もあわせて詳しく解説します！

覚えることが難しいとき自分で導けると便利なので、少しでも頭に入れておくといいと思います！

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三角比の定義

三角比の相互関係を証明するためには、三角比の定義をおさえておく必要があります。

その三角比の定義がこちら⬇️

三角比は直角三角形における角と辺の長さから、定義されます。

はやと

定義はしっかり覚えておきましょう！

三角比の相互関係の証明

では、ここから三角比の相互関係について、証明の解説をしていきます！

改めて確認しておくと、今回証明していく三角比の相互関係の式は次の3つ⬇️

1つずつ解説していきます。

①の証明

まずはこの①の式から解説していきます。

準備

ではここから細かく証明していくんだけど、証明するために三角比の定義を活用するのでおさらいします。

定義の中のsinとcosについて、両辺にrをかけて「x=」と「y=」の形をつくります。

すると、こうなります。

tanに代入

tanの定義はxとyで表されているので、そこに先ほど式変形した、「x=」「y=」の式の右辺を代入。

すると、こうなります⬇️

約分

代入した式の分子分母を見てみるとrで約分できるので約分をすると、

求める式の出来上がり👏

②の証明

次に、2つ目の証明にいきましょう！

証明するのはこの式⬇️

三平方の定理を利用

ではここから細かく証明していきますが、今回は三平方の定理を使います。

すると、①式が出てきます。

代入

①式がx,y,rで表されているので、このxとyに三角比の定義を式変形して作った「x=」と「y=」の式の右辺を代入。

すると、

こうなるので展開をします。

両辺rの2乗で割る

展開すると両辺の各項にrの2乗が出てくるので、両辺rの2乗で割ります。

そうするとこうなるので⬇️

sinとcosの順番を入れ替えて

求める式の出来上がり👏

③の証明

最後に3つ目⬇️の証明です！

ここから細かく説明していきますが、今回は三角比の相互関係②の式を使います。

両辺cosの2乗でわる

まず、②の式をcosの2乗でわります。

すると、tanに置き換えられる形が出てくるので置き換えます。

そしたら求める式の出来上がり👏

さいごに

今回は三角比の相互関係の式とその証明を紹介しました！

三角比の相互関係

はやと

数Ⅱの三角関数でも使うことになる基礎なので、しっかりおさえておきましょう！

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数学講師歴4年の元数学講師
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