下に凸のグラフの最小値・最大値│場合分けのやり方を解説！

こんにちは！はやとです！

今回は2次関数（下に凸）の最小値と最大値の場合分けについて解説していきます！

「場合分けが苦手！」

そんな生徒をよく見ますが、場合分けはパターンを覚えられればそんなに難しくありません！

是非この記事で一緒に理解していきましょう！

この記事の要点

下に凸のグラフ（y=a(x-p)²+q で a>0 の放物線）で定義域 0≤x≤a のとき、最小値は「軸（頂点のx座標）が定義域の左・中・右のどこにあるか」で3パターンに、最大値は「軸が定義域の半分より左・右・ちょうど半分か」で3パターンに場合分けします。

合計6パターンですが、考え方はいつも同じなので、パターンさえ覚えれば怖くありません。

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そもそも「上に凸」「下に凸」とは？

放物線（2次関数のグラフ）には、谷型の下に凸と、山型の上に凸の2種類があります。

• 下に凸：y=ax²+bx+c の a が正の数（a>0）。グラフはU字型で、頂点が一番下（最小値）になります。
• 上に凸：a が負の数（a<0）。グラフは山型で、頂点が一番上（最大値）になります。

見分け方はシンプルで、x²の係数の符号だけを見ればOKです。

この記事では下に凸（a>0）のグラフについて、定義域が決まっているときの最小値・最大値の求め方（場合分け）を解説していきます。

最小値の場合分け

はやと

では、軸を動かしながら、二次関数の最小値の取り方がどう変化するのか見ていきましょう！

※定義域は0以上a以下とし、aは0より大きい定数とします。

軸が定義域よりも左側のとき

まずは軸が定義域の左側にある場合から。

このとき、図の様に定義域の中ではx=0のとき、最小値をとることになります。

軸が定義域の中のとき

では次に、さっきのところから軸を右にずらして定義域の中に軸がある場合。

このときは図のようになり、最小値は頂点のところで取ることになります。

軸が定義域よりも右側のとき

そして最後に、さらに軸を右に動かして軸が定義域の右側に来た場合。

このときは図のように、定義域の中ではx=aのとき、最小値を取ることになります。

まとめ

最大値の場合分け

では次に、最大値について見ていきましょう！

はやと

最大値を考える場合は、定義域内でちょうど半分になるところを基準に、考えます！

今回も定義域は0以上a以下で考えていくので、ちょうど半分の値はa/2

軸がa/2よりも左側のとき

まずは軸がa/2の左側にある場合から。

このとき、図のようになり、定義域の中ではx=aのとき、最大値を取ります。

図では軸が定義域内にありますが、ここからそのまま左にどこまでズラしていっても最大値はx=aで取ります。

軸がa/2よりも右側のとき

次に、軸を右にズラしてみて軸がa/2よりも右側に来た場合。

このときは図のように、定義域の中ではx=0のとき、最大値を取る。

こちらも、軸は定義域内でa/2よりも右にありますが、そのまま右にズラして定義域の外側にいっても最大値はx=0で取ります。

軸がちょうどa/2のとき

ここまで、軸がa/2よりも右か左かで考えてきましたが、最後は軸がちょうどa/2のとき。

このとき、図のようにx=0のときとx=aのときの値は一致して、どちらも最大値ということになります。

まとめ

頂点（軸）の求め方があいまいな人はこちら

平方完成のやり方｜4つのパターンを現役数学講師がわかりやすく解説

よくある間違い・場合分けのコツ

• 最小値と最大値で「比較する基準」が違うことを忘れる
  • 最小値は「軸が定義域の中にあるか」で比較しますが、最大値は「軸が定義域の半分（a/2）より右か左か」で比較します。ここを混同するミスが非常に多いです。
• 図を描かずに公式だけ覚えようとする
  • 場合分けは暗記よりも「軸を実際に動かしてみる」イメージが命です。わからなくなったら、必ず簡単な図を描いて軸を左右に動かしてみてください。
• 覚え方のコツ
  • 最小値は「軸が定義域の内か外か」、最大値は「軸が定義域の真ん中より右か左か」で考える、とセットで覚えると混同しにくくなります。

よくある質問（FAQ）

Q. 下に凸とはどういうグラフですか？

A. y=ax²+bx+c の a が正の数（a>0）のときのグラフで、谷型（U字型）になります。頂点が一番下にくるので、頂点で最小値をとります。

Q. 上に凸のグラフとの違いは何ですか？

A. x²の係数の符号が負の数になり、グラフは山型になります。場合分けの考え方も最大値・最小値が入れ替わります。詳しくは上に凸バージョンの記事をご覧ください。

上に凸についてはこちらで解説してます

【上に凸のグラフの最小値・最大値】場合分けのやり方を現役数学講師が解説！

Q. 軸が定義域の外にあるときはどう考えればいいですか？

A. 軸が定義域の外にある場合、その定義域内でグラフは単調に増加または減少しているだけなので、最小値・最大値は必ず定義域の端（左端か右端）で取ります。

Q. 場合分けを覚えるコツはありますか？

A. 丸暗記より、実際に軸を動かしながらグラフを描いて確認する方法がおすすめです。自分で手を動かして練習してみてください。

さいごに

今回は、2次関数下に凸のグラフの最小値最大値について、場合分けのやり方を解説してきました！

下に凸のグラフで最小値を考えるときは
定義域の右か、左か、中か。

最大値を考えるときは
定義域の半分よりも右か、左か、ちょうど半分か

それぞれ3つ考えてあげればokなんです。

はやと

わからなくなったときには図を描いて、軸を動かしてみて、今回のように考えてみてください！

「場合分けはできたけど、他の単元も含めて数学全体が苦手…」という場合は、勉強法を見直すのもおすすめです。

数学が分からないときに試したい勉強法はこちら

高校数学がわからない時の対処法7ステップ│元数学講師が解説！

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はやと

数学講師歴4年の元数学講師
現在は農業に挑戦中

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