高校数学
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【2次関数の最小値・最大値】下に凸のグラフの場合分けを現役数学講師が解説!

@hayato0121
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こんにちは!はやとです!

今回は2次関数(下に凸)の最小値と最大値の場合分けについて解説していきます!

「場合分けが苦手!」

そんな生徒をよく見ますが、場合分けはパターンを覚えられればそんなに難しくありません!

是非この記事で一緒に理解していきましょう!

最小値の場合分け

では、軸を動かしながら、二次関数の最小値の取り方がどう変化するのか見ていきましょう!

定義域0以上a以下とし、aは0より大きい定数とします。

軸が定義域よりも左側のとき

まずは軸が定義域の左側にある場合から。

このとき、図の様に定義域の中ではx=0のとき、最小値をとることになります。

軸が定義域の左側にあるとき、最小値は定義域の左端で取る

軸が定義域の中のとき

では次に、さっきのところから軸を右にずらして定義域の中に軸がある場合。

このときは図のようになり、最小値は頂点のところで取ることになります。

軸が定義域の中にあるとき、最小値は頂点のy座標

軸が定義域よりも右側のとき

そして最後に、さらに軸を右に動かして軸が定義域の右側に来た場合。

このときは図のように、定義域の中ではx=aのとき、最小値を取ることになります。

軸が定義域の右側にあるとき、最小値は定義域の右端で取る

まとめ

下に凸なグラフ/最小値を考える場合分け

(i) 軸が定義域よりも左側のとき
  最小値は定義域の左端で取る

(ii) 軸が定義域の中のとき
  最小値は頂点のy座標

(iii) 軸が定義域よりも右側のとき
  最小値は定義域の右端で取る

最大値の場合分け

では次に、最大値について見ていきましょう!

最大値を考える場合は、定義域内でちょうど半分になるところを基準に、考えます!

今回も定義域は0以上a以下で考えていくので、ちょうど半分の値はa/2

軸がa/2よりも左側のとき

まずは軸がa/2の左側にある場合から。

このとき、図のようになり、定義域の中ではx=aのとき、最大値を取ります

図では軸が定義域内にありますが、ここからそのまま左にどこまでズラしていっても最大値はx=aで取ります。

軸がa/2よりも左側にあるとき、最大値は定義域の右端で取る

軸がa/2よりも右側のとき

次に、軸を右にズラしてみて軸がa/2よりも右側に来た場合。

このときは図のように、定義域の中ではx=0のとき、最大値を取る

こちらも、軸は定義域内でa/2よりも右にありますが、そのまま右にズラして定義域の外側にいっても最大値はx=0で取ります。

軸がa/2よりも右側にあるとき、最大値は定義域の左端で取る

軸がちょうどa/2のとき

ここまで、軸がa/2よりも右か左かで考えてきましたが、最後は軸がちょうどa/2のとき。

このとき、図のようにx=0のときとx=aのときの値は一致して、どちらも最大値ということになります。

軸がちょうどa/2のとき、最大値は定義域の両端で取る

まとめ

下に凸なグラフ/最大値を考える場合分け

(i) 軸が定義域の半分より左側のとき
  最大値は定義域の右端で取る

(ii) 軸が定義域の半分より右側のとき
  最大値は定義域の左側で取る

(iii) 軸が定義域のちょうど半分のとき
  最大値は定義域の両端で取る

さいごに

今回は、2次関数下に凸のグラフの最小値最大値について、場合分けのやり方を解説してきました!

下に凸のグラフで最小値を考えるときは
定義域の右か、左か、中か

最大値を考えるときは
定義域の半分よりも右か、左か、ちょうど半分か

それぞれ3つ考えてあげればokなんです。

わからなくなったときには図を描いて、軸を動かしてみて、今回のように考えてみてください!

上に凸バージョンはこちらの記事で解説しています⬇️

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【上に凸のグラフの最小値・最大値】場合分けのやり方を現役数学講師が解説!
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ABOUT ME
はやと
7年目数学講師。中高数学非常勤講師/対面・オンライン家庭教師→公営塾スタッフ(地域おこし協力隊)▶︎数学の解説や塾選び、自身の体験談などについて記事にしています。
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