【因数分解のやり方】公式〜たすき掛けまで現役数学講師が徹底解説！
@hayato0121
はやとの数学教室
2次方程式の解の公式の証明｜現役数学講師がわかりやすく解説！
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こんにちは！はやとです！
今回は、解の公式の証明について解説します！
二次方程式を計算する時によく使う解の公式。暗記に苦しむ生徒をよく目にしましたが、自分で導くことも可能です！
導き方がわかれば忘れたときにも安心ですので、今回はその証明（導き方）を紹介します！
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解の公式の証明
まずは全体像を紹介します
ここから、細かく説明をしていきます！
上の2次方程式を「x=」の形にすることを目標に、どんどん変形していきます。
aでくくる
まずは、xの項までをaでくくります。
xの係数で分母にaが来ることを忘れずに！
平方完成
次に、平方完成をする要領で、()で表されていた部分を()の2乗ができるように変形します。
余分に出てくるb2/4a2を引く部分までが1つの塊なので、｛｝でくくっておきましょう。
そして、｛｝でくくっていたところをaとかけて展開します。
「平方完成忘れちゃった！」って人はこちら⬇️の記事で復習してみてください😄
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平方完成のやり方｜4つのパターンを現役数学講師がわかりやすく解説
式を整理
式を綺麗にするために、カッコの2乗以外のところをまとめるため通分をします。
分子に公式の形が見えてきましたね！
最後に目指すのは「x=」の形なので、xが入っている項以外を移項します。
移項では符号が変わることに注意しましょう！
左辺の係数のaも取りたいので、両辺をaで割ります。
数学では0で割ることできず、aなど文字で割る場合はそれが0でないことを示す必要があります。
今回2次方程式について考えており、x2の係数であるaは0でないという前提で考えています。なので今回はaで割ることができます。
ルート√をとる
次に左辺の2乗をとって、右辺をルートに。
このとき、±をつけるのを忘れずに！
分母はちょうど2aの2乗の形になっていたので、ルートが綺麗に外れますね。
式を整理（完了！）
最後に、左辺をxのみにするためにb/2を右辺に移項します。
分母が2aで揃っているので、通分の必要もありませんね。
これで完成です👏
まとめ
再度まとめるとこんな感じ⬇️
にーえーぶんの
まいなすびー
ぷらすまいなす るーと
びーのにじょう まいなすよんえーしー
なんて言いながら覚えていくと思いますが、ただこれを覚えるのではなく、こうやって導けるんだよってことも、覚えておいてくださいね！
少しは覚えやすくなるかもしれません！
bが偶数のときの解の公式
そしてもう1つ、bが偶数のときに使える公式があります⬇️
暗記が苦手で使いづらければ先程の公式だけ覚えて使えば良いですが、こっちも覚えておくと、計算が楽になります！
bが偶数のときの証明
bが偶数の場合の公式の証明には先程の解の公式を活用し、bの部分に2b’を代入して証明していきます。
先に証明の全体を紹介しておくとこんな感じ⬇️
では、詳しく解説していきます！
まずは代入
まずは、さっきの公式のbだったところに、2b’を代入します。
式を整理
そして、ルートの中身を4でくくる。
4は2の2乗なので、その4をルートの外に出すことができます。
4ルートの外に出して、2が前に出ます。
約分（完了！）
すると、分子分母の各項に2があるので、約分できます。
約分したら、証明したかった式が出てきてこれで完了です！
まとめ
ということで再度まとめるとこんな感じ⬇️
余裕があれば証明と合わせて覚えておいてください！
よくある質問（FAQ）
Q. 解の公式を覚えるコツはありますか？
A. 語呂合わせで丸暗記する方法もありますが、今回紹介した導き方を1度理解しておくと、忘れたときに自分で作り直せるので安心です。
Q. bが偶数のときの公式は必ず覚える必要がありますか？
A. 必須ではありません。通常の解の公式だけでも解けますが、bが偶数のときはこちらを使うと計算がぐっと楽になります。余裕があれば覚えておくのがおすすめです。
Q. 解の公式と平方完成はどう使い分けますか？
A. 平方完成は2次関数の頂点を求めるときに、解の公式は2次方程式の解（x軸との交点）を求めるときに主に使います。あわせてこちらもチェックしてみてください。
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さいごに
この記事では、解の公式の証明について解説しました！
暗記も大切ですが、証明を理解しておくことで「なぜこの式が成り立つのか」わかるようになり、暗記や公式の活用もしやすくなるはずです！
2次関数・2次方程式の単元ではよく使う解の公式、しっかりおさえておきましょう！
「解の公式はできたけど、他の単元も含めて数学全体が苦手…」という場合は、勉強法を見直すのもおすすめです。
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数学講師歴4年の元数学講師
現在は農業に挑戦中
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