【上に凸のグラフの最小値・最大値】場合分けのやり方を現役数学講師が解説！
@hayato0121
はやとの青空教室
【2次関数の最小値・最大値】下に凸のグラフの場合分けを現役数学講師が解説！
@hayato0121
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こんにちは！はやとです！
今回は2次関数（下に凸）の最小値と最大値の場合分けについて解説していきます！
「場合分けが苦手！」
そんな生徒をよく見ますが、場合分けはパターンを覚えられればそんなに難しくありません！
是非この記事で一緒に理解していきましょう！
目次
最小値の場合分け
では、軸を動かしながら、二次関数の最小値の取り方がどう変化するのか見ていきましょう！
※定義域は0以上a以下とし、aは0より大きい定数とします。
軸が定義域よりも左側のとき
まずは軸が定義域の左側にある場合から。
このとき、図の様に定義域の中ではx=0のとき、最小値をとることになります。
軸が定義域の左側にあるとき、最小値は定義域の左端で取る
軸が定義域の中のとき
では次に、さっきのところから軸を右にずらして定義域の中に軸がある場合。
このときは図のようになり、最小値は頂点のところで取ることになります。
軸が定義域の中にあるとき、最小値は頂点のy座標
軸が定義域よりも右側のとき
そして最後に、さらに軸を右に動かして軸が定義域の右側に来た場合。
このときは図のように、定義域の中ではx=aのとき、最小値を取ることになります。
軸が定義域の右側にあるとき、最小値は定義域の右端で取る
まとめ
下に凸なグラフ/最小値を考える場合分け
(i) 軸が定義域よりも左側のとき
最小値は定義域の左端で取る
(ii) 軸が定義域の中のとき
最小値は頂点のy座標
(iii) 軸が定義域よりも右側のとき
最小値は定義域の右端で取る
最大値の場合分け
では次に、最大値について見ていきましょう！
最大値を考える場合は、定義域内でちょうど半分になるところを基準に、考えます！
今回も定義域は0以上a以下で考えていくので、ちょうど半分の値はa/2
軸がa/2よりも左側のとき
まずは軸がa/2の左側にある場合から。
このとき、図のようになり、定義域の中ではx=aのとき、最大値を取ります。
図では軸が定義域内にありますが、ここからそのまま左にどこまでズラしていっても最大値はx=aで取ります。
軸がa/2よりも左側にあるとき、最大値は定義域の右端で取る
軸がa/2よりも右側のとき
次に、軸を右にズラしてみて軸がa/2よりも右側に来た場合。
このときは図のように、定義域の中ではx=0のとき、最大値を取る。
こちらも、軸は定義域内でa/2よりも右にありますが、そのまま右にズラして定義域の外側にいっても最大値はx=0で取ります。
軸がa/2よりも右側にあるとき、最大値は定義域の左端で取る
軸がちょうどa/2のとき
ここまで、軸がa/2よりも右か左かで考えてきましたが、最後は軸がちょうどa/2のとき。
このとき、図のようにx=0のときとx=aのときの値は一致して、どちらも最大値ということになります。
軸がちょうどa/2のとき、最大値は定義域の両端で取る
まとめ
下に凸なグラフ/最大値を考える場合分け
(i) 軸が定義域の半分より左側のとき
最大値は定義域の右端で取る
(ii) 軸が定義域の半分より右側のとき
最大値は定義域の左側で取る
(iii) 軸が定義域のちょうど半分のとき
最大値は定義域の両端で取る
さいごに
今回は、2次関数下に凸のグラフの最小値最大値について、場合分けのやり方を解説してきました！
下に凸のグラフで最小値を考えるときは
定義域の右か、左か、中か。
最大値を考えるときは
定義域の半分よりも右か、左か、ちょうど半分か
それぞれ3つ考えてあげればokなんです。
わからなくなったときには図を描いて、軸を動かしてみて、今回のように考えてみてください！
上に凸バージョンはこちらの記事で解説しています⬇️
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7年目数学講師。中高数学非常勤講師／対面・オンライン家庭教師→公営塾スタッフ（地域おこし協力隊）▶︎数学の解説や塾選び、自身の体験談などについて記事にしています。
