2023.04.23 2024.11.06

【平方完成のやり方】現役数学講師が手順をわかりやすく解説！

@hayato0121

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こんにちは！はやとです！

今回は「平方完成」のやり方について解説していきます！

2次関数のグラフ（放物線）の頂点を求めるときに必ず使う平方完成。

一見、計算が複雑そうで、初めは難しく感じることもあるかと思いますが、いくつかあるパターンを理解し、やり方を覚えてしまえば簡単にできるようになります！

この記事では4つのパターンに分けて解説をしていきます！

この記事を読んで、さらに教科書や自分の問題集で練習をして、平方完成をマスターしていきましょう！

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数学講師歴7年のぼくの視点で解説しています！

そもそも平方完成とは

平方完成とは

平方完成とは、①のように表された式を②式のように変形することを言います。

a,b,c,x..など、文字が多いですが、ここでは形だけ意識してみてみてください！

①のようにx²、x、定数項と3つの項で表していたものを、カッコの2乗の形で表します。

ここで出てくる文字のa,b,c,p,qは、何かしらの数字が入るのですが、いろんな数字が入ることがあるのでいったん文字で表しているんです。

だから、ここでは式の形だけ意識してみて、文字について深くは考えなくてokです！

実際に数字を入れてみると次のような感じ。

平方完成とは

平方完成をするときは、②のように、2乗の形にする！

これだけ意識をして、計算を進めましょう！

では、どのように計算をしてこの変形を進めればよいのか、解説していきます！

x²の係数が1、xの係数が偶数の場合

平方完成のやり方①

xの係数を半分にして、カッコの2乗の形にする。
- 展開の公式の逆を意識しながら頭を使いましょう。
- (x-3)²を展開すると、x²-6x+9となり、元の式にある、x²-6xをつくることができます。
①で余分に出てきた+9を消すために、-9をする。
- ①ではx²-6xの形をつくるために(x-3)²の形をつくりました。
- ただ、これを展開すると、元の式にはなかった、+9まで出てきてします。
- それを消すために、-9をします。
最後は式を整理して完了！

xの係数が奇数の場合

平方完成のやり方②

やり方は1つ目と一緒。

x²の係数が1以外の場合（正の数）

平方完成のやり方③

x²の係数で、xの項までをくくる。
①でくくった部分をカッコの2乗の形にする
- カッコの中の数字はこれまで同様、前の式のxの係数の半分に。
- -１のところまでがひと固まりで、前にくくった２がかかってくるので、そこまでカッコをつけるところに注意！
係数でくくった部分を展開し、式を整理したら完了！

1、2問目と違うのは、最初にx²の係数でxが着く項までをくくるというところ。

これをやらないと、うまくカッコの2乗の形がつくれないので、まずやりましょう！

次でラストです！