2023.04.23 2026.08.14

平方完成のやり方｜4つのパターンを現役数学講師がわかりやすく解説

@hayato0121

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こんにちは！はやとです！

今回は「平方完成」のやり方を解説します！

2次関数のグラフ（放物線）の頂点を求めるときに必ず使う平方完成。

計算が複雑に見えますが、パターンとやり方を覚えてしまえば簡単にできるようになります！

この記事では4つのパターンに分けて解説をしていきますが、解説を読みながら教科書や自分の問題集で練習をして、平方完成をマスターしていってください！

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そもそも平方完成とは
平方完成のやり方
平方完成でよくある間違い
よくある質問（FAQ）
さいごに

そもそも平方完成とは

平方完成とは

平方完成とは、ax²+bx+c のように表された式を、a(x+p)²+q の形に変形することを言います。

ここで出てくる文字のa,b,c,p,qは、何かしらの数字が入るのですが、いろんな数字が入ることがあるのでいったん文字で表しているんです。

だから、ここでは式の形だけ意識してみて、文字について深くは考えなくてokです！

変形前：x²、x、定数項の3つの項が並んだ形
変形後：カッコの中を2乗した形（＋余りの定数）

実際に数字を入れてみると次のような感じ。

平方完成とは

平方完成をするときは、②のように、2乗の形にする！

これだけ意識をして、計算を進めましょう！

なぜ平方完成をするのか？

平方完成をすると a(x+p)²+q の形になり、この(p, q)が2次関数のグラフ（放物線）の頂点の座標になります。

放物線の頂点がわかると、最大値・最小値を求める問題や、グラフの概形をつかむ問題が一気に解きやすくなります。

平方完成をマスターしたら次はこちら

下に凸のグラフの最小値・最大値│場合分けのやり方を解説！

では、どのように計算をして平方完成の計算を進めればよいのか、パターン別に解説していきます！

平方完成のやり方

1問目

x²の係数が1、xの係数が偶数の場合

平方完成のやり方①

xの係数を半分にして、カッコの2乗の形にする。
- 展開の公式の逆を意識しながら頭を使いましょう。
- (x-3)²を展開すると、x²-6x+9となり、元の式にある、x²-6xをつくることができます。
①で余分に出てきた+9を消すために、-9をする。
- ①ではx²-6xの形をつくるために(x-3)²の形をつくりました。
- ただ、これを展開すると、元の式にはなかった、+9まで出てきてします。
- それを消すために、-9をします。
最後は式を整理して完了！

2問目

xの係数が奇数の場合

平方完成のやり方②

やり方は1つ目と一緒。

xの係数を半分にして、カッコの2乗の形にする。
- 今回、3を半分にすると分数が出てきますが、やり方は同じです
引き算の部分も忘れずに！
最後は式を整理して完了！

分数が出てきても、計算の流れ自体は1問目とまったく同じです。焦らず落ち着いて計算しましょう。

3問目

x²の係数が1以外の場合（正の数）

平方完成のやり方③

x²の係数で、xの項までをくくる。
①でくくった部分をカッコの2乗の形にする
- カッコの中の数字はこれまで同様、前の式のxの係数の半分に。
- -１のところまでがひと固まりで、前にくくった２がかかってくるので、そこまでカッコをつけるところに注意！
係数でくくった部分を展開し、式を整理したら完了！

1、2問目と違うのは、最初にx²の係数でxが着く項までをくくるというところ。

これをやらないと、うまくカッコの2乗の形がつくれないので、まずやりましょう！

次でラストです！

4問目

係数が負の数の場合

平方完成のやり方④

x²の係数で、xの項までをくくる。
- x²の係数が負の数なので、カッコの中のxの係数の符号に注意！
①でくくった部分をカッコの2乗の形にする
係数でくくった部分を展開
- この時も符号には十分注意しましょう！
式を整理したら完了！

符号のミスが一番起きやすいパターンです。マイナスをくくり出すときと、展開して戻すときの2回、符号を確認する習慣をつけましょう。

平方完成でよくある間違い

カッコの中の数字を「半分にする」のを忘れる／2倍にしてしまう
- xの係数をそのままカッコに入れてしまうミスが最多です。必ず「半分」を意識しましょう。
係数でくくったあと、引いた数にも係数がかかることを忘れる（3問目・4問目のパターン）
- 2(x-2)²-4+5 のように、くくり出した係数を戻すタイミングでのミスが起こりがちです。
符号のミス（4問目のパターン）
- マイナスをくくり出す・戻す、それぞれの場面で符号を書き間違えやすいので、1行ずつ検算する癖をつけましょう。
平方完成した後、何が分かるのかを忘れてしまう
- a(x+p)²+q の形になったら、頂点は (-p, q) です（カッコの中の符号に注意）。ここを混同すると、最大値・最小値の問題で符号ミスにつながります。