【上に凸のグラフの最小値・最大値】場合分けのやり方を現役数学講師が解説！

こんにちは！はやとです！

今回は2次関数の最小値と最大値の場合分け、上に凸バージョンを解説します！

という声をぼく自身多くの生徒から聞いてきましたが、場合分けはパターンをつかめば難しくありません！

定義域に対して軸を動かしながら考えるとシンプルなので、一緒に頑張りましょう！

最小値の場合分け

ではまず、最小値から見ていきましょう！

上に凸のグラフで最小値を考える場合は、定義域内でちょうど半分になるところを基準に、軸を動かして考えます。

今回、定義域は0以上a以下とするので、ちょうど半分の値はa/2

軸がa/2よりも左側のとき

まずは軸がa/2の左側にある場合から。

このとき、グラフは図のようになり、定義域の中ではx=aのとき、最小値をとります。

図では軸が定義域の中にありますが、そのまま左にズラしていって定義域の外側にあったとしても、最小値はx=aでとります。

軸がa/2よりも右側のとき

次に、軸を右にずらしていって、a/2よりも右に来た場合について考えてみましょう。

このときのグラフは図のようになり、定義域の中ではx=0のとき、最小値をとります。

図では軸が定義域の中にありますが、そのまま右にズラしていって定義域の外側にあったとしても、最小値はx=0でとります。

軸がちょうどa/2のとき

最後に、軸とa/2が重なる場合。

このとき、グラフは図のようになり、x=0のときとx=aの時の値は一致して、どちらも最小値ということになります。

最小値のまとめ

最大値の場合分け

次に、最大値について考えていきましょう！

最大値を考える場合は、定義域の中か、外か、という視点で見ていきます。

軸が定義域よりも左側のとき

まずは軸が定義域よりも左側にある場合から。

このときのグラフは図のようになり、定義域の中ではx=0のとき、最大値をとります。

軸が定義域の中のとき

次に、軸が定義域の中にある場合。

このときのグラフは図のようになり、頂点のy座標が最大値となります。

軸が定義域よりも右側のとき

さいごに、軸が定義域よりも右側にある場合。

このときのグラフは図のようになり、定義域の中ではx=aのとき、最大値をとります。

最大値のまとめ

さいごに

今回は2次関数のグラフの最小値最大値について、場合分けのやり方を解説しました。

最小値と最大値、それぞれ3つずつの場合に分けると簡単に考えることができます！

暗記するのではなく、軸を動かすことでいつ最小値・最大値が変化するのか見ることができますので、自分でできるようになるまで練習してみてください😁

下に凸バージョンはこちらの記事で解説しています⬇️

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7年目数学講師。中高数学非常勤講師／対面・オンライン家庭教師→公営塾スタッフ（地域おこし協力隊）▶︎数学の解説や塾選び、自身の体験談などについて記事にしています。