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はやとの青空教室
【解の公式の証明】現役数学講師がわかりやすく解説！
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こんにちは！はやとです！
今回は、解の公式の証明について解説します！
二次方程式を計算する時によく使う解の公式。暗記に苦しむ生徒をよく目にしましたが、自分で導くことも可能です！
導き方がわかれば忘れたときにも安心ですので、ぜひおさえておきましょう！
解の公式
先に証明した式を紹介すると、こんな感じ⬇️
この記事ではこの証明について、詳しく解説していきます！
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待ち受けにして復習もオススメ👍
解の公式の証明
上の2次方程式を「x=」の形にすることを目標に、どんどん変形していきます。
aでくくる
まずは、xの項までをaでくくります。
xの係数で分母にaが来ることを忘れずに！
平方完成
次に、平方完成をする要領で、()で表されていた部分を()の2乗ができるように変形します。
余分に出てくるb2/4a2を引く部分までが1つの塊なので、｛｝でくくっておきましょう。
そして、｛｝でくくっていたところをaとかけて展開します。
「平方完成忘れちゃった！」って人はこちら⬇️の記事で復習してみてください😄
合わせて読みたい
【平方完成のやり方】現役数学講師が手順をわかりやすく解説！
式を整理
式を綺麗にするために、カッコの2乗以外のところをまとめるため通分をします。
分子に公式の形が見えてきましたね！
最後に目指すのは「x=」の形なので、xが入っている項以外を移項します。
移項では符号が変わることに注意しましょう！
左辺の係数のaも取りたいので、両辺をaで割ります。
数学では0で割ることできず、aなど文字で割る場合はそれが0でないことを示す必要があります。
今回2次方程式について考えており、x2の係数であるaは0でないという前提で考えています。なので今回はaで割ることができます。
ルート√をとる
次に左辺の2乗をとって、右辺をルートに。
このとき、±をつけるのを忘れずに！
分母はちょうど2aの2乗の形になっていたので、ルートが綺麗に外れますね。
式を整理（完了！）
最後に、左辺をxのみにするためにb/2を右辺に移項します。
分母が2aで揃っているので、通分の必要もありませんね。
これで完成です👏
まとめ
再度まとめるとこんな感じ⬇️
にーえーぶんの
まいなすびー
ぷらすまいなす るーと
びーのにじょう まいなすよんえーしー
なんて言いながら覚えていくと思いますが、ただこれを覚えるのではなく、こうやって導けるんだよってことも、覚えておいてくださいね！
少しは覚えやすくなるかもしれません！
bが偶数のときの解の公式
そしてもう1つ、bが偶数のときに使える公式があります⬇️
暗記が苦手で使いづらければ先程の公式だけ覚えて使えば良いですが、こっちも覚えておくと、計算が楽になります！
bが偶数のときの証明
bが偶数の場合の公式の証明には先程の解の公式を活用し、bの部分に2b’を代入して証明していきます。
先に証明の全体を紹介しておくとこんな感じ⬇️
では、詳しく解説していきます！
まずは代入
まずは、さっきの公式のbだったところに、2b’を代入します。
式を整理
そして、ルートの中身を4でくくる。
4は2の2乗なので、その4をルートの外に出すことができます。
4ルートの外に出して、2が前に出ます。
約分（完了！）
すると、分子分母の各項に2があるので、約分できます。
約分したら、証明したかった式が出てきてこれで完了です！
まとめ
ということで再度まとめるとこんな感じ⬇️
余裕があれば証明と合わせて覚えておいてください！
さいごに
この記事では、解の公式の証明について解説しました！
暗記も大切ですが、証明を理解しておくことで「なぜこの式が成り立つのか」わかるようになり、暗記や公式の活用もしやすくなるはずです！
2次関数・2次方程式の単元ではよく使う解の公式、しっかりおさえておきましょう！
どうせやるなら楽しんで！
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ABOUT ME
7年目数学講師。中高数学非常勤講師／対面・オンライン家庭教師→公営塾スタッフ（地域おこし協力隊）▶︎数学の解説や塾選び、自身の体験談などについて記事にしています。
